Trigonometrische functies met dubbele boog

Bij de studie van goniometrische functies, daar zijn vaak problemen mee dubbele bogen. Daarom is het kennen van de specifieke formules van de sinus, cosinus Het is raaklijn dit type boog is van fundamenteel belang bij het vereenvoudigen van veel berekeningen.

Overweeg elke maatboog $\dpi{120} \alfa$ , de dubbele boog is de maatboog $\dpi{120} 2\alfa$ . Op deze manier willen we sinusformules verkrijgen van $\dpi{120} 2\alfa$ , cosinus van $\dpi{120} 2\alfa$ en raaklijn van $\dpi{120} 2\alfa$ .

Bekijk meer

Studenten uit Rio de Janeiro strijden om medailles op de Olympische Spelen...

Het Instituut voor Wiskunde staat open voor inschrijving voor de Olympische Spelen...

Deze formules zijn verkrijgbaar bij de optelformules met twee bogen:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Onthoud het gebruik van deze formules uit een voorbeeld waarin we de sinus van 75° verkrijgen uit de sinus en cosinus van opmerkelijke hoeken 30° en 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Laten we nu eens kijken hoe de formules van de dubbele boog goniometrische functies.

Trigonometrische functies van dubbele bogen

Gegeven een maatboog $\dpi{120} \alfa$ , de dubbele boog is de maatboog $\dpi{120} 2\alfa$ . Sinds $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , kunnen we de formules voor het toevoegen van twee bogen gebruiken om de formules voor de dubbele boog te krijgen.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Daarom, de dubbele boog sinus wordt verkregen door de volgende formule:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Zie nu dat:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha}}$

Daarom, de dubbele boog cosinus wordt verkregen door de volgende formule:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha}}$

Met betrekking tot de raaklijn hebben we:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$

$\dpi{120} \mathbf{ \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} {1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

Daarom, de dubbele boog tangens wordt verkregen door de volgende formule:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha}) \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} {1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

Mogelijk bent u ook geïnteresseerd:

trigonometrische cirkel
goniometrische tafel
trigonometrische relaties
Bogen met meer dan één draai

Trigonometrische functies met dubbele boog

Trigonometrische functies van dubbele bogen

Contante lening tot R $ 3.000: wie kan het ontvangen?

Leer dit zelfgemaakte recept voor dulce de leche

Ervaren musici zijn inderdaad onderhevig aan het 'McGurk-effect'; hoe beïnvloedt het?