Det er noen teknikker for polynom faktorisering som lar oss skrive dem som en multiplikasjon av to eller flere polynomer.
For å lære hvordan du fremhever et begrep, gjør gruppering, skriv som et perfekt kvadratisk trinomium og mange andre typer bemerkelsesverdige produkter, sjekk ut en liste over løste faktureringsøvelser som vi forberedte.
se mer
Studenter fra Rio de Janeiro skal konkurrere om medaljer ved OL...
Matematikkinstituttet er åpent for påmelding til OL...
Spørsmål 1. Skriv den felles faktoren inn i bevis, faktor polynomene:
a) 15x + 15y
b) x² + 9xy
c) ab – a³b³
d) a²z + abz
Spørsmål 2. Faktor hvert av polynomene:
a) x² – xy – x
b) 24x³ – 8x² – 56x³
c) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b.(a – x) – c.(a – x)
Spørsmål 3. Ved å bruke klyngings- og fellesfaktor-i-bevis-teknikkene, kan du faktorisere følgende polynomer:
a) a² + ab + ax + bx
b) bx² – 2by + 5x² – 10y
c) 2an + n -2am – m
d) ax – bx + cx + ay – by + cy
Spørsmål 4. Polynomene nedenfor viser forskjeller på to kvadrater. Skriv hver av dem i faktorisert form.
a) a² – 64
b) (x – 4)² – 16
c) (y + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
Spørsmål 5. Faktor følgende polynom ved å skrive som en multiplikasjon:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
Spørsmål 6. Sjekk at hvert av trinomialene nedenfor representerer et perfekt kvadratisk trinomium, og gjør deretter faktoriseringen.
a) a² – 10ab + 25b²
b) x² – 8x + 25
c) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
Spørsmål 7. Fullfør polynomet nedenfor slik at det er et perfekt kvadratisk trinomium.
x² + 4x
Spørsmål 8. Bruk faktoriseringsteknikker, finn røttene til ligningene:
a) x² – 9x = 0
b) x² – 64 = 0
c) y² – y = 0
d) x² – 1 = 0
a) 15x + 15y = 15.(x + y)
b) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
b) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2x² + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2x² – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
d) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (a – b + 2 – a + b + 2) =
(2a – 2b). (4) =
4.(2a – 2b)
a) a² – 10ab + 25b²
Først tar vi kvadratroten av begrepene vi kvadrerer:
√a² = De
√25b² = 5b
Som 2. De. 5b = 10ab → gjenværende ledd i trinomialet. Så polynomet er et perfekt kvadratisk trinomium.
La oss faktorisere: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
b) x² – 8x + 25
√x² = x
√25 = 5
2. x. 5 = 10x → samsvarer ikke med gjenværende ledd som er 8x. Så polynomet er ikke et perfekt kvadratisk trinomium.
c) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → gjenværende ledd i trinomialet. Så polynomet er et perfekt kvadratisk trinomium.
La oss faktorisere: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4
√9b² = 3b
2. 4. 3b = 24ab → gjenværende ledd i trinomialet. Så polynomet er et perfekt kvadratisk trinomium.
La oss faktorisere: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Vi må skrive et perfekt kvadrattrinomial som følger: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Så vi må finne verdien av y. Vi har:
2xy = 4x
2y = 4
y = 4/2
y = 2
Derfor må vi legge til begrepet y² = 2² = 4 til polynomet slik at det er et perfekt kvadratisk trinomium: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
a) Plassere x som bevis:
x.(x – 9) = 0
Da er x = 0 eller
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Røtter: 0 og 9
b) Vi har en forskjell mellom to kvadrater:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
Det vil si x + 8 = 0 eller x – 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Røtter: -8 og 8.
c) Sette y som bevis:
y.(y – 1) = 0
Så y = 0 eller y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Røtter: 0 og 1
d) Husk at 1 = 1², vi har en forskjell mellom to kvadrater:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
Så x + 1 = 0 eller x – 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Røtter: – 1 og 1.
Se også:
