Istnieje kilka technik tzw faktoryzacja wielomianu które pozwalają nam zapisać je jako iloczyn dwóch lub więcej wielomianów.
Aby dowiedzieć się, jak wyróżniać termin, grupować, pisać jako idealny trójmian kwadratowy i wiele innych typów godne uwagi produkty, sprawdź jeden lista rozwiązanych ćwiczeń z fakturowania że przygotowaliśmy.
Zobacz więcej
Studenci z Rio de Janeiro powalczą o medale na igrzyskach olimpijskich…
Instytut Matematyki rozpoczyna rejestrację na Igrzyska Olimpijskie…
Pytanie 1. Zapisując wspólny czynnik w dowodzie, uwzględnij wielomiany:
a) 15x + 15y
b) x² + 9xy
c) ab – a³b³
d) a²z + abz
Pytanie 2. Rozłóż każdy z wielomianów na czynniki:
a) x² – xy – x
b) 24x³ – 8x² – 56x³
c) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b.(a – x) – do. (a – x)
Pytanie 3. Korzystając z technik grupowania i wspólnego czynnika w dowodach, rozłóż na czynniki następujące wielomiany:
a) a² + ab + topór + bx
b) bx² – 2by + 5x² – 10y
c) 2an + n -2am – m
d) ax – bx + cx + ay – przez + cy
Pytanie 4. Poniższe wielomiany pokazują różnice dwóch kwadratów. Zapisz każdą z nich w postaci rozłożonej na czynniki.
a) a² – 64
b) (x – 4)² – 16
c) (y + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
Pytanie 5. Rozłóż następujący wielomian na czynniki, zapisując jako mnożenie:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
Pytanie 6. Sprawdź, czy każdy z poniższych trójmianów reprezentuje idealnie kwadratowy trójmian, a następnie rozłóż na czynniki.
a) a² – 10ab + 25b²
b) x² – 8x + 25
c) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
Pytanie 7. Uzupełnij poniższy wielomian tak, aby był idealnie kwadratowym trójmianem.
x² + 4x
Pytanie 8. Korzystając z technik faktoringu, znajdź pierwiastki równań:
a) x² – 9x = 0
b) x² – 64 = 0
c) y² – y = 0
d) x² – 1 = 0
a) 15x + 15y = 15.(x + y)
b) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
b) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – do.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – przez + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
d) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (za – b + 2 – za + b + 2) =
(2a – 2b). (4) =
4.(2a – 2b)
a) a² – 10ab + 25b²
Najpierw bierzemy pierwiastek kwadratowy z wyrażeń, które podwyższamy:
√a² = The
√25b² = 5b
jak 2. The. 5b = 10ab → pozostały wyraz trójmianu. Więc wielomian jest idealnie kwadratowym trójmianem.
Rozłóżmy na czynniki: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
b) x² – 8x + 25
√x² = X
√25 = 5
2. X. 5 = 10x → nie pasuje do pozostałego wyrazu, którym jest 8x. Zatem wielomian nie jest idealnie kwadratowym trójmianem.
c) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → pozostały wyraz trójmianu. Więc wielomian jest idealnie kwadratowym trójmianem.
Rozłóżmy na czynniki: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4
√9b² = 3b
2. 4. 3b = 24ab → pozostały wyraz trójmianu. Więc wielomian jest idealnie kwadratowym trójmianem.
Rozłóżmy na czynniki: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Musimy zapisać idealny trójmian kwadratowy w następujący sposób: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Musimy więc znaleźć wartość y. Mamy:
2xy = 4x
2 lata = 4
y = 4/2
y = 2
Zatem musimy dodać wyrażenie y² = 2² = 4 do wielomianu, tak aby był to trójmian idealnie kwadratowy: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
a) Umieszczenie x w dowodzie:
x.(x – 9) = 0
Wtedy x = 0 lub
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Pierwiastki: 0 i 9
b) Mamy różnicę między dwoma kwadratami:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
Oznacza to, że x + 8 = 0 lub x – 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Korzenie: -8 i 8.
c) Dodanie y jako dowodu:
y.(y – 1) = 0
Zatem y = 0 lub y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Pierwiastki: 0 i 1
d) Pamiętając, że 1 = 1², mamy różnicę między dwoma kwadratami:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
Zatem x + 1 = 0 lub x – 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Pierwiastki: – 1 i 1.
Zobacz też:
