Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice

La fracții algebrice sunt fracții în care apar polinomiale la numărător și numitor sau cel puțin la numitor.

Exemple:

Vezi mai mult

Elevii din Rio de Janeiro vor concura pentru medalii la Jocurile Olimpice...

Institutul de Matematică este deschis pentru înscrieri la Jocurile Olimpice...

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2x}{5y}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{x-1}{2y^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{a-b}{a^2-b^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{1}{x^3 -8}}$

Astfel, înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice presupune calcule între polinoame, adică implică operații între termeni cu una sau mai multe variabile.

Înmulțirea fracțiilor algebrice

A înmulțirea fracțiilor algebrice este asemănător cu înmulțirea fracțiilor numerice.

Doar înmulțiți numărătorii împreună și înmulțiți numitorii împreună.

Ține minte că în multiplicarea puterilor Dacă bazele sunt aceleași, păstrați baza și adăugați exponenții: $\dpi{120} \mathrm{x^n.x^m x^{n+ m}}$ .

Exemple:

a) Calculați $\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3} \frac{x^3\cdot 5x^2}{3y\cdot 2y^ 3} \frac{5x^{5}}{6y^4}}$

b) Calculați $\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x} \frac{\cancel{\mathrm{x}}\cdot y\cdot \cancel{\mathrm {a}}}{a^{\cancel{2}}\cdot b\cdot 2\cdot \cancel{\mathrm{x}}} \frac{y}{2ab}}$

Rețineți că atunci când facem înmulțiri, putem simplifica fracția algebrică prin anularea factorilor egali.

Împărțirea fracțiilor algebrice

A împărțirea fracțiilor algebrice este asemănător cu împărțirea fracțiilor numerice. Doar păstrați prima fracție și înmulțiți cu reciproca celei de-a doua fracții.

Reciproca celei de-a doua fracții se obține prin schimbarea numărătorului și numitorului.

Exemple:

a) Calculați $\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y}}$ .

Păstrând prima fracție și înmulțind cu reciproca celei de-a doua, avem:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} }$

Deci, trebuie doar să rezolvăm această înmulțire între fracții:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} \frac{12xy}{8x^5y} \frac{3}{2x^4} }$

Prin urmare, rezultatul împărțirii este:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} \frac{3}{2x^4}}$

b) Calculați $\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1}}$ .

Păstrând prima fracție și înmulțind cu reciproca celei de-a doua, avem:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1} \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^ 2-1}{a^4} }$

Acum, rezolvăm înmulțirea dintre fracții:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^2-1}{a^4} \frac{a\cdot (b^2-1)}{a ^4\cdot (b+1)} \frac{\cancel{\mathrm{a}}\cdot (b-1)\cdot \cancel{(\mathrm{b+1})}}{a^{\cancel{4}}\cdot \cancel{ (\mathrm{b+1})}} \frac{b-1}{a^3}}$