О наибольший общий делитель(МДЦ) между двумя и более целые числа соответствует самому большому делитель общее, существующее между ними. Между многочлены, у MDC такая же идея.
Таким образом, чтобы понять, как вычислить НОД между полиномами, важно знать, как вычислить НОД целых чисел.
узнать больше
Студенты из Рио-де-Жанейро поборются за медали на Олимпиаде…
Институт математики открыт для регистрации на Олимпиаду…
На практике МДХ можно получить как продукт главные факторы общие, существующие между числами.
Пример: Рассчитайте НОД между 16 и 24.
Разложение на простые множители:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
НОД между 16 и 24 является произведением общих для двух чисел множителей, то есть
НОД(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
Теперь давайте посмотрим как найти НОД многочленов. Мы начнем с простейшего случая, когда многочлены образованы одним членом: одночлены.
Давайте посмотрим на несколько примеров того, как вычислить НОД между двумя или более мономами.
Пример 1: MDC между 6x и 15x.
Разлагая на простые множители, имеем:
6 = 2. 3 и 15 = 3. 5
Следовательно, мы можем записать каждый из мономов следующим образом:
6х = 2. 3. Икс
15x = 3. 5. Икс
Таким образом, МДК 3x.
Пример 2: MDC между 18x²y и 30xy.
Разлагая на простые множители, имеем:
18 = 2. 3. 3 и 30 = 2. 3. 5
Следовательно, мы можем записать каждый из мономов следующим образом:
18x²y = 2. 3. 3. х². у = 2. 3. 3. Икс. Икс. у
30ху = 2. 3. 5. Икс. у
2. 3. Икс. у = 6х
Итак, МДК 6xy.
Чтобы найти НОД многочленов, мы сначала проверяем, можно ли разложить каждый из них на множители. Для этого мы используем техники полиномиальная факторизация.
Пример 1: НОД между (x² – y²) и (2x – 2y).
Обратите внимание, что первый многочлен соответствует разнице в два квадрата. Таким образом, мы можем факторизовать это следующим образом:
х² – у² = (х – у).(х + у)
Уже во втором многочлене мы можем записать общий множитель 2 в качестве доказательства:
2х – 2у = 2.(х – у)
Таким образом, мы имеем:
х² – у² = (х - у).(х + у)
2х – 2у = 2.(х - у)
Таким образом, НОД между полиномами равен (х - у).
Пример 2: НОД между (x³ + 27) и (x² + 6x + 9).
Первый многочлен соответствует сумме между двумя кубами, см.:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
И второй многочлен, возведенный в квадрат к сумме двух членов:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Итак, мы должны:
х³ + 27 = (х + 3).(x² – 3x + 9)
х² + 6х + 9 = (х + 3).(х + 3)
Следовательно, НОД между полиномами равен (х + 3).
Пример 3: НОД между (2x² – 32) и (x³ + 12x² + 48x + 64).
Здесь первый полином представляет собой разность двух квадратов:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
При этом второй полином есть куб суммы двух слагаемых:
х³ + 12х² + 48х + 64 = (х)³ + 3. (х²). (4) + 3. (4²). (х) + (4)³ = (х + 4)³ = (х + 4).(х + 4).(х + 4)
Итак, мы должны:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(х + 4)
х³ + 12х² + 48х + 64 = (х + 4).(х + 4).(х + 4)
Следовательно, НОД между полиномами равен (х + 4).
Путаница между понятиями MDC и ММС (наименьший общий множитель). Однако в то время как НОД соответствует наибольшему общему делителю, ММС задается наименьшим общим кратным.
MMC — очень полезный инструмент для решения дробных уравнений, потому что, как правило, знаменатели дробей дроби они не одинаковы.
В этих ситуациях мы извлекаем MMC между знаменателями и оттуда пишем эквивалентные дроби того же знаменателя.
Однако знаменатели не всегда являются известными числами, они могут быть алгебраическими выражениями или полиномами. Поэтому часто приходится рассчитывать полиномиальная ММС.
В это время важно не перепутать и захотеть найти НОД уравнения, когда необходимо рассчитать MMC уравнения.
Вам также может быть интересно: