Как найти НОД многочленов

О наибольший общий делитель(МДЦ) между двумя и более целые числа соответствует самому большому делитель общее, существующее между ними. Между многочлены, у MDC такая же идея.

Таким образом, чтобы понять, как вычислить НОД между полиномами, важно знать, как вычислить НОД целых чисел.

На практике МДХ можно получить как продукт главные факторы общие, существующие между числами.

Пример: Рассчитайте НОД между 16 и 24.

Разложение на простые множители:

НОД между 16 и 24 является произведением общих для двух чисел множителей, то есть

НОД(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.

Теперь давайте посмотрим как найти НОД многочленов. Мы начнем с простейшего случая, когда многочлены образованы одним членом: одночлены.

НОД мономов

Давайте посмотрим на несколько примеров того, как вычислить НОД между двумя или более мономами.

Пример 1: MDC между 6x и 15x.

Разлагая на простые множители, имеем:

6 = 2. 3 и 15 = 3. 5

Следовательно, мы можем записать каждый из мономов следующим образом:

6х = 2. 3. Икс

15x = 3. 5. Икс

Таким образом, МДК 3x.

Пример 2: MDC между 18x²y и 30xy.

Разлагая на простые множители, имеем:

18 = 2. 3. 3 и 30 = 2. 3. 5

Следовательно, мы можем записать каждый из мономов следующим образом:

18x²y = 2. 3. 3. х². у = 2. 3. 3. Икс. Икс. у

30ху = 2. 3. 5. Икс. у 

2. 3. Икс. у = 6х

Итак, МДК 6xy.

НОД многочленов

Чтобы найти НОД многочленов, мы сначала проверяем, можно ли разложить каждый из них на множители. Для этого мы используем техники полиномиальная факторизация.

Пример 1: НОД между (x² – y²) и (2x – 2y).

Обратите внимание, что первый многочлен соответствует разнице в два квадрата. Таким образом, мы можем факторизовать это следующим образом:

х² – у² = (х – у).(х + у)

Уже во втором многочлене мы можем записать общий множитель 2 в качестве доказательства:

2х – 2у = 2.(х – у)

Таким образом, мы имеем:

х² – у² = (х - у).(х + у)

2х – 2у = 2.(х - у)

Таким образом, НОД между полиномами равен (х - у).

Пример 2: НОД между (x³ + 27) и (x² + 6x + 9).

Первый многочлен соответствует сумме между двумя кубами, см.:

x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)

И второй многочлен, возведенный в квадрат к сумме двух членов:

x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)

Итак, мы должны:

х³ + 27 = (х + 3).(x² – 3x + 9)

х² + 6х + 9 = (х + 3).(х + 3)

Следовательно, НОД между полиномами равен (х + 3).

Пример 3: НОД между (2x² – 32) и (x³ + 12x² + 48x + 64).

Здесь первый полином представляет собой разность двух квадратов:

2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)

При этом второй полином есть куб суммы двух слагаемых:

х³ + 12х² + 48х + 64 = (х)³ + 3. (х²). (4) + 3. (4²). (х) + (4)³ = (х + 4)³ = (х + 4).(х + 4).(х + 4)

Итак, мы должны:

2x² – 32 = 2.(x – 4).(х + 4)

х³ + 12х² + 48х + 64 = (х + 4).(х + 4).(х + 4)

Следовательно, НОД между полиномами равен (х + 4).

Разница между MMC и MDC

Путаница между понятиями MDC и ММС (наименьший общий множитель). Однако в то время как НОД соответствует наибольшему общему делителю, ММС задается наименьшим общим кратным.

MMC — очень полезный инструмент для решения дробных уравнений, потому что, как правило, знаменатели дробей дроби они не одинаковы.

В этих ситуациях мы извлекаем MMC между знаменателями и оттуда пишем эквивалентные дроби того же знаменателя.

Однако знаменатели не всегда являются известными числами, они могут быть алгебраическими выражениями или полиномами. Поэтому часто приходится рассчитывать полиномиальная ММС.

В это время важно не перепутать и захотеть найти НОД уравнения, когда необходимо рассчитать MMC уравнения.

Вам также может быть интересно:

• Упражнения на равные дроби
• Как складывать и вычитать дроби
• Практический метод решения уравнений 1-й степени
• Критерии делимости