Сложение и вычитание алгебраических дробей

А сложение и вычитание алгебраических дробей делается аналогично сложению и вычитанию числовых дробей, разница в том, что в алгебраических дробях мы имеем дело с многочлены.

Когда знаменатели алгебраических дробей совпадают, просто добавьте или вычтите числители и сохраните знаменатель.

узнать больше

Студенты из Рио-де-Жанейро поборются за медали на Олимпиаде…

Институт математики открыт для регистрации на Олимпиаду…

Однако, если знаменатели разные, мы должны написать эквивалентные дроби с одинаковыми знаменателями, чтобы затем выполнить сложение или вычитание. В этом случае рассчитайте ММС полиномов.

Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями

Если знаменатели алгебраических дробей совпадают, мы складываем или вычитаем числители и сохраняем знаменатель.

Примеры:

а) Рассчитать $\ dpi {120} \ mathrm {\ frac {7x} {y ^ 2} + \ frac {3x} {y ^ 2}}$ .

$\ dpi {120} \ mathrm {\ frac {7x} {y ^ 2} + \ frac {3x} {y ^ 2} \ frac {7x + 3x} {y ^ 2} \ frac {10x} {y ^ 2} } }$

б) Рассчитать $\ dpi {120} \ mathrm {\ frac {9 + a} {b-1} - \ frac {a-b} {b-1}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{9 + a}{b-1}-\frac{a-b}{b-1} \frac{9 + a - (ab)}{b-1} \frac{ 9 -b}{b-1} }$

Алгебраические дроби с разными знаменателями

Если знаменатели алгебраических дробей разные, вычисляем НОК знаменателей и записываем эквивалентные дроби с одинаковым знаменателем.

Затем мы вычисляем сложение или вычитание, как и в предыдущем случае, равных знаменателей.

Примеры:

а) Рассчитать $\ dpi {120} \ mathrm {\ frac {x} {2y} + \ frac {y} {2x}}$ .

Разложим каждый из многочленов, стоящих в знаменателе:

$\dpi{120} \mathrm{2y 2\cdot y}$

$\dpi{120} \mathrm{2x 2\cdot x}$

MMC - это произведение между факторами, но без повторения одних и тех же факторов:

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow MMC 2\cdot y\cdot x 2yx}$

Обратите внимание, что мы не повторяем число 2, которое появляется при факторизации двух многочленов.

С помощью ММС перепишем эквивалентные дроби с тем же знаменателем:

$\ dpi {120} \ mathrm {\ frac {x} {2y} + \ frac {y} {2x} \ frac {x ^ 2} {2yx} + \ frac {y ^ 2} {2yx}}$

Наконец, мы вычисляем сумму алгебраических дробей, которые уже имеют одинаковый знаменатель:

$\ dpi {120} \ mathrm {\ frac {x} {2y} + \ frac {y} {2x} \ frac {x ^ 2 + y ^ 2} {2yx}}$

б) Рассчитать $\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3}}$ .

Чтобы найти MMC между многочленами в знаменателе, мы факторизуем каждый из них.

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 9 a^2 - 3^2 (a-3)\cdot (a+3)}$ → разложение двух квадратов на множители

$\dpi{120} \mathrm{а+ 3 а+3}$ → остается прежним

MMC — это произведение факторов, но без повторения одних и тех же факторов.

$\ dpi {120} \ mathrm {\ Rightarrow MMC (a + 3) \ cdot (a-3)}$

Обратите внимание, что мы не повторяем (a + 3), которое появляется при факторизации двух многочленов.

С помощью ММС перепишем эквивалентные дроби с тем же знаменателем:

$\ dpi {120} \ mathrm {\ frac {2a} {a ^ 2-9} - \ frac {7} {a + 3} \ frac {2a} {(a + 3) \ cdot (a-3)} -\frac{7.(a-3)}{(a+3)\cdot (a-3)}}$

Наконец, мы вычисляем сумму алгебраических дробей, которые уже имеют одинаковый знаменатель:

$\ dpi {120} \ mathrm {\ frac {2a} {a ^ 2-9} - \ frac {7} {a + 3} \ frac {2a - 7 (a-3)} {(a + 3) \ cdot (a-3)} \frac{2a-7a+21}{(a+3)\cdot (a-3)} \frac{-5a+21}{(a+3)\cdot (a-3 ) )} }$