Тригонометрические функции двойной дуги

В исследовании тригонометрические функции, часто возникают проблемы с двойные арки. Поэтому, зная конкретные формулы синус, косинус Это касательная этот тип дуги имеет основополагающее значение для упрощения многих вычислений.

Рассмотрим любую дугу измерения $\dpi{120} \альфа$ , двойная дуга - это дуга измерения $\dpi{120} 2\альфа$ . Таким образом, мы хотим получить формулы синуса $\dpi{120} 2\альфа$ , косинус $\dpi{120} 2\альфа$ и тангенс $\dpi{120} 2\альфа$ .

узнать больше

Студенты из Рио-де-Жанейро поборются за медали на Олимпиаде…

Институт математики открыт для регистрации на Олимпиаду…

Эти формулы можно получить из формулы сложения двух дуг:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot сен\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\бета}}}$

Помните использование этих формул из примера, где мы получаем синус 75° из синуса и косинуса замечательные углы 30° и 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm { \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {\ sqrt {2}} {2} + \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ cdot \ frac {\ sqrt {3}}{2} }$

$\ dpi {120} \ mathrm { \ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {\ sqrt {6}} {4} }$

$\dpi{120} \mathrm{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Теперь давайте посмотрим, как формулы тригонометрические функции двойной дуги.

Тригонометрические функции двойных дуг

Дана дуга измерения $\dpi{120} \альфа$ , двойная дуга - это дуга измерения $\dpi{120} 2\альфа$ . С $\dpi{120} 2\альфа \альфа + \альфа$ , мы можем использовать формулы для сложения двух дуг, чтобы получить формулы для двойной дуги.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + сен\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (сен\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha})}$

Следовательно двойной арксинус получается по следующей формуле:

$\dpi{120}\mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (сен\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha})}$

Теперь посмотрите, что:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - сен\, \boldsymbol{\alpha} \cdot сен\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha}}$

Следовательно двойной арккосинус получается по следующей формуле:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha}}$

Относительно касательной имеем:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\альфа}}}$