Факторизация алгебраических выражений

алгебраические выражения выражения, которые отображают числа и переменные, и делают алгебраическое выражение факторизация означает записать выражение как произведение двух или более терминов.

Разложение алгебраических выражений на множители может упростить многие алгебраические вычисления, потому что, разлагая на множители, мы можем упростить выражение. Но как факторизовать алгебраические выражения?

узнать больше

Студенты из Рио-де-Жанейро поборются за медали на Олимпиаде…

Институт математики открыт для регистрации на Олимпиаду…

Для факторизации алгебраических выражений мы используем методы, которые мы увидим далее.

факторинг по доказательствам

Факторизация по свидетельству состоит в выделении общего термина в алгебраическом выражении.

Этот общий термин может быть просто числом, переменной или их произведением, т. одночлен.

Пример:

разложить выражение $\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2}$ .

Обратите внимание, что в обоих терминах этого выражения появляется переменная $\dpi{120} \mathrm{x}$ , так что давайте положим это в доказательство:

$\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2 x\cdot (3y-2x)}$

Факторинг по группировке

В факторинг погруппировка, мы группируем термины, которые имеют общий множитель. Затем мы выводим общий фактор на первый план.

Таким образом, общим фактором является многочлен и уже не моном, как в предыдущем случае.

Пример:

разложить выражение $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y}$ .

Обратите внимание, что выражение образовано суммой нескольких терминов и что в некоторых терминах появляется $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ а в других появляется $\dpi{120} \mathrm{y}$ .

Перепишем выражение, сгруппировав эти термины вместе:

$\dpi{120} \mathrm{ax^2 + 5x^2 - 10y - 2ay}$

Поставим переменные $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ Это $\dpi{120} \mathrm{y}$ в доказательство:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-y (2a+10)}$

Теперь обратите внимание, что термин $\dpi{120} \mathrm{y (2y + 10)}$ можно переписать как $\dpi{120} \mathrm{y (2a + 2\cdot 5)}$ , из чего мы также можем поставить число 2 в качестве доказательства:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-2y (a+5)}$

как многочлен $\dpi{120} \mathrm{(a+5)}$ появляется в обоих терминах, мы можем привести это еще раз в доказательство:

$\dpi{120} \mathrm{(a+5)\cdot (x^2-2y)}$

Поэтому, $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y (a+5)\cdot (x^2 - 2y)}$ .

Разложение двух квадратов на множители

Если выражение представляет собой разность двух квадратов, его можно записать как произведение суммы оснований и разности оснований. Это один из известные продукты:

$\dpi{120} \mathrm{(a^2 - b^2) (a +b)\cdot (a-b)}$

Пример:

разложить выражение $\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2}$ .

Обратите внимание, что это выражение можно переписать как $\dpi{120} \mathrm{9^2 - (2x)^2}$ , то есть это разность двух квадратных членов, основания которых равны 9 и 2x.

Итак, запишем выражение в виде произведения суммы оснований и разности оснований:

$\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2 (9+2x)\cdot (9-2x)}$

Разложение на множители совершенного квадратного трехчлена

При разложении на множители совершенного квадратного трехчлена мы также используем известные произведения и записываем выражение в виде квадрата суммы или квадрата разности между двумя членами:

$\dpi{120} \mathrm{a^2 + 2ab+b^2 (a + b)\cdot (a+b) (a+b)^2}$

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 2ab+b^2 (a - b)\cdot (a-b) (a-b)^2}$

Пример:

разложить выражение $\dpi{120} \mathrm{x^2 + 22y + 121}$ .

Обратите внимание, что выражение представляет собой совершенный квадратный трехчлен, так как $\ точек на дюйм {120} \ mathrm {\ sqrt {х ^ 2} х}$ , $\dpi{120} \sqrt{121}11$ Это $\dpi{120} \mathrm{2\cdot x\cdot 11 22y}$ .