Goniometrické funkcie s dvojitým oblúkom

V štúdiu o goniometrické funkcie, často sa vyskytujú problémy dvojité oblúky. Preto poznať špecifické vzorce sínus, kosínus to je dotyčnica tento typ oblúka je základom pre zjednodušenie mnohých výpočtov.

Zvážte akýkoľvek oblúk miery $\dpi{120} \alpha$ , dvojitý oblúk je oblúk miery $\dpi{120} 2\alpha$ . Týmto spôsobom chceme získať sínusové vzorce z $\dpi{120} 2\alpha$ , kosínus $\dpi{120} 2\alpha$ a dotyčnica z $\dpi{120} 2\alpha$ .

pozrieť viac

Študenti z Ria de Janeiro budú bojovať o medaily na olympiáde...

Ústav matematiky je otvorený pre registráciu na olympijské hry…

Tieto vzorce je možné získať z dvojoblúkové sčítacie vzorce:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Pamätajte na použitie týchto vzorcov z príkladu, kde získame sínus 75° zo sínusu a kosínusu pozoruhodné uhly 30° a 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Teraz sa pozrime, ako vzorce goniometrické funkcie s dvojitým oblúkom.

Goniometrické funkcie dvojitých oblúkov

Daný oblúk miery $\dpi{120} \alpha$ , dvojitý oblúk je oblúk miery $\dpi{120} 2\alpha$ . Od r $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , môžeme použiť vzorce na sčítanie dvoch oblúkov, aby sme získali vzorce pre dvojitý oblúk.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Preto, dvojitý oblúkový sínus sa získa podľa nasledujúceho vzorca:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Teraz pozri, že:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Preto, dvojitý oblúk kosínus sa získa podľa nasledujúceho vzorca:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Čo sa týka dotyčnice, máme:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$