О Највећи заједнички делилац(МДЦ) између два или више цели бројеви одговара највећем разделник заједничко које постоји међу њима. Између полиноми, МДЦ има исту идеју.
Дакле, да бисмо разумели како израчунати ГЦД између полинома, важно је знати како израчунати ГЦД целих бројева.
види више
Студенти из Рио де Жанеира бориће се за медаље на Олимпијским играма...
Математички институт је отворен за пријаве за Олимпијаду…
На практичан начин, МДЦ се може добити као производ од просте чиниоце заједничке које постоје између бројева.
Пример: Израчунај ГЦД између 16 и 24.
Разлагање на основне факторе:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
ГЦД између 16 и 24 је производ заједничких чинилаца за два броја, тј.
ГЦД(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
Сада да видимо како пронаћи ГЦД полинома. Почећемо са најједноставнијим случајем, са полиномима формираним од једног појма: тхе мономи.
Хајде да видимо неке примере како израчунати ГЦД између два или више монома.
Пример 1: МДЦ између 6к и 15к.
Разлажући на основне факторе, имамо:
6 = 2. 3 и 15 = 3. 5
Дакле, сваки од монома можемо написати на следећи начин:
6х = 2. 3. Икс
15к = 3. 5. Икс
Дакле, МДЦ је 3к.
Пример 2: МДЦ између 18к²и и 30ки.
Разлажући на основне факторе, имамо:
18 = 2. 3. 3 и 30 = 2. 3. 5
Дакле, сваки од монома можемо написати на следећи начин:
18к²и = 2. 3. 3. к². и = 2. 3. 3. Икс. Икс. и
30ки = 2. 3. 5. Икс. и
2. 3. Икс. и = 6к
Дакле, МДЦ је 6ки.
Да бисмо пронашли ГЦД полинома, прво проверавамо да ли је могуће сваки од њих раставити на факторе. За ово користимо технике факторизација полинома.
Пример 1: ГЦД између (к² – и²) и (2к – 2и).
Имајте на уму да први полином одговара разлици два квадрата. Дакле, можемо га факторисати на следећи начин:
к² – и² = (к – и).(к + и)
Већ у другом полиному можемо да запишемо заједнички фактор, 2, као доказ:
2к – 2и = 2.(к – и)
На овај начин имамо:
к² – и² = (к - и).(к + и)
2к – 2и = 2.(к - и)
Дакле, ГЦД између полинома је (к - и).
Пример 2: ГЦД између (к³ + 27) и (к² + 6к + 9).
Први полином одговара збиру између две коцке, види:
к³ + 27 = к³ + 3³ = (к + 3).(к² – 3к + 9)
И други полином, на квадрат на збир два члана:
к² + 6к + 9 = (к + 3)² = (к + 3).(к + 3)
Дакле, морамо:
к³ + 27 = (к + 3).(к² – 3к + 9)
к² + 6к + 9 = (к + 3).(к + 3)
Дакле, ГЦД између полинома је (к + 3).
Пример 3: ГЦД између (2к² – 32) и (к³ + 12к² + 48к + 64).
Овде је први полином разлика између два квадрата:
2к² – 32 = 2.(к² – 16) = 2.(к² – 4²) = 2.(к – 4).(к + 4)
У међувремену, други полином је коцка збира два члана:
к³ + 12к² + 48к + 64 = (к)³ + 3. (к²). (4) + 3. (4²). (к) + (4)³ = (к + 4)³ = (к + 4).(к + 4).(к + 4)
Дакле, морамо:
2к² – 32 = 2.(к – 4).(к + 4)
к³ + 12к² + 48к + 64 = (к + 4).(к + 4).(к + 4)
Дакле, ГЦД између полинома је (к + 4).
Конфузија између концепата МДЦ и ММЦ (најмањи заједнички садржалац). Међутим, док ГЦД одговара највећем заједничком делиоцу, ММЦ је дат најмањим заједничким вишекратником.
ММЦ је веома користан алат у решавању фракционих једначина јер су, генерално, имениоци разломака нису исти.
У овим ситуацијама, оно што радимо је да извучемо ММЦ између именилаца и одатле запишемо еквивалентни разломци истог имениоца.
Међутим, имениоци нису увек познати бројеви, они могу бити алгебарски изрази или полиноми. Стога је уобичајено да се мора израчунати полином ММЦ.
У овом тренутку, важно је да не збуните и желите наћи ГЦД једначине, када оно што треба да се израчуна је ММЦ једначине.
Можда ће вас занимати и: