Det finns några tekniker för polynomfaktorisering som gör att vi kan skriva dem som en multiplikation av två eller flera polynom.
För att lära dig hur man lyfter fram en term, gör gruppering, skriv som ett perfekt kvadratisk trinomium och många andra typer av anmärkningsvärda produkter, kolla in en lista över lösta faktureringsövningar som vi förberett.
se mer
Studenter från Rio de Janeiro kommer att tävla om medaljer vid OS...
Matematikinstitutet är öppet för anmälan till OS...
Fråga 1. Skriv in den gemensamma faktorn i bevis, faktorisera polynomen:
a) 15x + 15y
b) x² + 9xy
c) ab – a³b³
d) a²z + abz
Fråga 2. Faktorisera vart och ett av polynomen:
a) x² – xy – x
b) 24x³ – 8x² – 56x³
c) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b.(a – x) – c.(a – x)
Fråga 3. Använd klustrings- och gemensam-faktor-i-bevis-teknikerna, faktorisera följande polynom:
a) a² + ab + axe + bx
b) bx² – 2by + 5x² – 10y
c) 2an + n -2am – m
d) ax – bx + cx + ay – by + cy
Fråga 4. Polynomen nedan visar skillnader mellan två kvadrater. Skriv var och en av dem i faktoriserad form.
a) a² – 64
b) (x – 4)² – 16
c) (y + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
Fråga 5. Faktorisera följande polynom genom att skriva som en multiplikation:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
Fråga 6. Kontrollera att vart och ett av trinomialen nedan representerar ett perfekt kvadratiskt trinomium och gör sedan faktoriseringen.
a) a² – 10ab + 25b²
b) x² – 8x + 25
c) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
Fråga 7. Fyll i polynomet nedan så att det blir ett perfekt kvadratiskt trinomium.
x² + 4x
Fråga 8. Använd factoringtekniker och hitta rötterna till ekvationerna:
a) x² – 9x = 0
b) x² – 64 = 0
c) y² – y = 0
d) x² – 1 = 0
a) 15x + 15y = 15.(x + y)
b) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
b) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
d) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (a – b + 2 – a + b + 2) =
(2a – 2b). (4) =
4.(2a – 2b)
a) a² – 10ab + 25b²
Först tar vi kvadratroten av termerna vi kvadrat:
√a² = De
√25b² = 5b
Som 2. De. 5b = 10ab → återstående term av trinomialet. Så polynomet är ett perfekt kvadratiskt trinomium.
Låt oss faktorisera: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
b) x² – 8x + 25
√x² = x
√25 = 5
2. x. 5 = 10x → matchar inte den återstående termen som är 8x. Så polynomet är inte ett perfekt kvadrattrinomium.
c) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → återstående term av trinomialet. Så polynomet är ett perfekt kvadratiskt trinomium.
Låt oss faktorisera: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4:a
√9b² = 3b
2. 4:a. 3b = 24ab → återstående term av trinomialet. Så polynomet är ett perfekt kvadratiskt trinomium.
Låt oss faktorisera: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Vi måste skriva ett perfekt kvadrattrinomial enligt följande: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Så vi måste hitta värdet på y. Vi har:
2xy = 4x
2y = 4
y = 4/2
y = 2
Därför måste vi lägga till termen y² = 2² = 4 till polynomet så att det blir ett perfekt kvadrattrinomium: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
a) Placera x som bevis:
x.(x – 9) = 0
Då är x = 0 eller
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Rötter: 0 och 9
b) Vi har en skillnad mellan två rutor:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
Det vill säga x + 8 = 0 eller x – 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Rötter: -8 och 8.
c) Att sätta y som bevis:
y.(y – 1) = 0
Så y = 0 eller y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Rötter: 0 och 1
d) Kom ihåg att 1 = 1² har vi en skillnad mellan två kvadrater:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
Alltså x + 1 = 0 eller x – 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Rötter: – 1 och 1.
Se också: