Тригонометричні функції подвійної дуги

У дослідженні тригонометричні функції, часто виникають проблеми за участю подвійні арки. Тому, знаючи конкретні формули в синус, косинус Це є дотична цей тип дуги є фундаментальним для спрощення багатьох обчислень.

Розглянемо будь-яку дугу вимірювання $\dpi{120} \alpha$ , подвійна дуга є дугою вимірювання $\dpi{120} 2\alpha$ . Таким чином ми хочемо отримати формули синусів $\dpi{120} 2\alpha$ , косинус $\dpi{120} 2\alpha$ і тангенс $\dpi{120} 2\alpha$ .

побачити більше

Студенти з Ріо-де-Жанейро змагатимуться за медалі на Олімпіаді…

Інститут математики відкриває реєстрацію на олімпіаду…

Ці формули можна отримати з формули додавання двох дуг:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Пригадайте використання цих формул із прикладу, де ми отримуємо синус 75° із синуса та косинуса чудові ракурси 30° і 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Тепер давайте подивимося, як формули подвійні дугові тригонометричні функції.

Тригонометричні функції подвійних дуг

Дано дугу вимірювання $\dpi{120} \alpha$ , подвійна дуга є дугою вимірювання $\dpi{120} 2\alpha$ . Оскільки $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , ми можемо використати формули додавання двох дуг, щоб отримати формули для подвійної дуги.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Тому подвійний арксинус отримується за такою формулою:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Тепер дивіться, що:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Тому подвійний арккосинус отримується за такою формулою:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Відносно дотичної маємо:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$