Goniometrické funkce dvojitého oblouku

Při studiu goniometrické funkce, často se objevují problémy dvojité oblouky. Proto znalost konkrétních vzorců sinus, kosinus to je tečna tento typ oblouku je zásadní pro zjednodušení mnoha výpočtů.

Zvažte jakýkoli oblouk míry $\dpi{120} \alpha$ , dvojitý oblouk je oblouk míry $\dpi{120} 2\alpha$ . Tímto způsobem chceme získat sinusové vzorce $\dpi{120} 2\alpha$ , cosinus $\dpi{120} 2\alpha$ a tečna z $\dpi{120} 2\alpha$ .

vidět víc

Studenti z Ria de Janeira budou bojovat o medaile na olympiádě…

Matematický ústav je otevřen pro registraci na olympiádu…

Tyto vzorce lze získat z dvouobloukové adiční vzorce:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Pamatujte na použití těchto vzorců z příkladu, kde získáme sinus 75° ze sinu a kosinu pozoruhodné úhly 30° a 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Nyní se podívejme, jak vzorce goniometrické funkce dvojitého oblouku.

Goniometrické funkce dvojitých oblouků

Daný oblouk míry $\dpi{120} \alpha$ , dvojitý oblouk je oblouk míry $\dpi{120} 2\alpha$ . Od té doby $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , můžeme použít vzorce pro přidání dvou oblouků, abychom získali vzorce pro dvojitý oblouk.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Proto, dvojitý oblouk sinus se získá podle následujícího vzorce:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Podívejte se na to:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Proto, dvojitý oblouk kosinus se získá podle následujícího vzorce:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Pokud jde o tečnu, máme:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$

$\dpi{120} \mathbf{ \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

Proto, dvojitý oblouk tangens se získá podle následujícího vzorce:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha}) \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

Také by vás mohlo zajímat:

trigonometrický kruh
trigonometrická tabulka
goniometrické vztahy
Oblouky s více než jedním otočením

Goniometrické funkce dvojitého oblouku

Goniometrické funkce dvojitých oblouků

Inep zveřejňuje podrobné údaje Enem podle škol

Austrálie snižuje spotřebu plastových tašek o 80 % za tři měsíce

Začátek letního času se odkládá na žádost MEC