Ó největší společný dělitel(MDC) mezi dvěma nebo více celá čísla odpovídá největšímu dělič společné, které mezi nimi existuje. Mezi polynomy, MDC má stejný nápad.
Abychom pochopili, jak vypočítat GCD mezi polynomy, je důležité vědět, jak vypočítat GCD celých čísel.
vidět víc
Studenti z Ria de Janeira budou bojovat o medaile na olympiádě…
Matematický ústav je otevřen pro registraci na olympiádu…
Praktickým způsobem lze MDC získat jako produkt hlavní faktory společné, které existují mezi čísly.
Příklad: Vypočítejte GCD mezi 16 a 24.
Rozklad na prvočinitele:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
GCD mezi 16 a 24 je součin faktorů společných těmto dvěma číslům, tj.
GCD(16; 24) = 2. 2. 2 = 8.
Teď se podívejme jak najít GCD polynomů. Začneme nejjednodušším případem, s polynomy tvořenými jediným členem: the monomiály.
Podívejme se na několik příkladů, jak vypočítat GCD mezi dvěma nebo více monomiály.
Příklad 1: MDC mezi 6x a 15x.
Při rozkladu na prvočinitele máme:
6 = 2. 3 a 15 = 3. 5
Proto můžeme každý z monočlenů zapsat takto:
6x = 2. 3. X
15x = 3. 5. X
Proto je MDC 3x.
Příklad 2: MDC mezi 18x²y a 30xy.
Při rozkladu na prvočinitele máme:
18 = 2. 3. 3 a 30 = 2. 3. 5
Proto můžeme každý z monočlenů zapsat takto:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. X. X. y
30xy = 2. 3. 5. X. y
2. 3. X. y = 6x
Takže MDC je 6xy.
Abychom našli GCD polynomů, nejprve zkontrolujeme, zda je možné každý z nich faktorizovat. K tomu používáme techniky polynomiální faktorizace.
Příklad 1: GCD mezi (x² – y²) a (2x – 2y).
Všimněte si, že první polynom odpovídá rozdílu dvou čtverců. Můžeme to tedy zohlednit následovně:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Již ve druhém polynomu můžeme zapsat společný faktor 2 jako důkaz:
2x – 2y = 2.(x – y)
Tímto způsobem máme:
x² – y² = (x - y).(x + y)
2x – 2 roky = 2.(x - y)
Takže GCD mezi polynomy je (x - y).
Příklad 2: GCD mezi (x³ + 27) a (x² + 6x + 9).
První polynom odpovídá součtu mezi dvěma kostkami, viz:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3). (x² – 3x + 9)
A druhý polynom, na druhou mocninu součtu dvou členů:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Takže musíme:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Proto je GCD mezi polynomy (x + 3).
Příklad 3: GCD mezi (2x² – 32) a (x³ + 12x² + 48x + 64).
Zde je prvním polynomem rozdíl mezi dvěma čtverci:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Mezitím druhý polynom je krychlí součtu dvou členů:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Takže musíme:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Proto je GCD mezi polynomy (x + 4).
Záměna mezi pojmy MDC a MMC (nejmenší společný násobek). Zatímco však GCD odpovídá nejvyššímu společnému děliteli, MMC je dána nejnižším společným násobkem.
MMC je velmi užitečný nástroj při řešení zlomkových rovnic, protože obecně platí, že jmenovatelé zlomky nejsou stejné.
V těchto situacích, co děláme, je extrahovat MMC mezi jmenovatele a odtud psát ekvivalentní zlomky stejného jmenovatele.
Jmenovateli však nejsou vždy známá čísla, mohou to být algebraické výrazy nebo polynomy. Proto je běžné muset počítat polynom MMC.
V této době je důležité neplést a chtít najít GCD rovnice, kdy je třeba vypočítat MMC rovnice.
Také by vás mohlo zajímat:
