Existují některé techniky polynomiální faktorizace které nám umožňují zapsat je jako násobení dvou nebo více polynomů.
Chcete-li se naučit, jak zvýraznit termín, dělat seskupení, psát jako dokonalý čtvercový trojčlen a mnoho dalších typů pozoruhodné produkty, podívejte se na jeden seznam řešených fakturačních cvičení které jsme připravili.
vidět víc
Studenti z Ria de Janeira budou bojovat o medaile na olympiádě…
Matematický ústav je otevřen pro registraci na olympiádu…
Otázka 1. Zapsáním společného činitele do důkazu vynásobte polynomy:
a) 15x + 15 let
b) x² + 9xy
c) ab – a³b³
d) a²z + abz
Otázka 2. Faktor každého z polynomů:
a) x² – xy – x
b) 24x³ – 8x² – 56x³
c) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b. (a – x) – c. (a – x)
Otázka 3. Pomocí technik shlukování a společného faktoru důkazu faktorujte následující polynomy:
a) a² + ab + ax + bx
b) bx² – 2by + 5x² – 10y
c) 2an + n -2am – m
d) ax – bx + cx + ay – by + cy
Otázka 4. Níže uvedené polynomy ukazují rozdíly dvou čtverců. Napište každý z nich v rozloženém tvaru.
a) a² – 64
b) (x – 4)² – 16
c) (y + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
Otázka 5. Vynásobte následující polynom zápisem jako násobení:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
Otázka 6. Zkontrolujte, zda každý z níže uvedených trinomů představuje dokonalý čtvercový trinom, a poté proveďte faktorizaci.
a) a² – 10ab + 25b²
b) x² – 8x + 25
c) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
Otázka 7. Doplňte níže uvedený polynom tak, aby se jednalo o dokonalý čtvercový trinom.
x² + 4x
Otázka 8. Pomocí technik faktoringu najděte kořeny rovnic:
a) x² – 9x = 0
b) x² – 64 = 0
c) y² – y = 0
d) x² – 1 = 0
a) 15x + 15y = 15.(x + y)
b) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y –1)
b) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x². (3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8). (a – 8)
b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
d) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (a – b + 2 – a + b + 2) =
(2a – 2b). (4) =
4.(2a – 2b)
a) a² – 10ab + 25b²
Nejprve vezmeme druhou odmocninu z výrazů, které odmocňujeme:
√a² = The
√25b² = 5b
Jako 2. The. 5b = 10ab → zbývající člen trinomu. Polynom je tedy dokonalý čtvercový trinom.
Faktor: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
b) x² – 8x + 25
√x² = X
√25 = 5
2. X. 5 = 10x → neodpovídá zbývajícímu členu, který je 8x. Polynom tedy není dokonalý čtvercový trinom.
c) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → zbývající člen trojčlenu. Polynom je tedy dokonalý čtvercový trinom.
Vypočítejme: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4
√9b² = 3b
2. 4. 3b = 24ab → zbývající člen trinomu. Polynom je tedy dokonalý čtvercový trinom.
Vypočítejme: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Musíme napsat dokonalý čtvercový trojčlen takto: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Musíme tedy najít hodnotu y. My máme:
2xy = 4x
2 roky = 4
y = 4/2
y = 2
K polynomu tedy musíme přidat člen y² = 2² = 4, aby se jednalo o dokonalý čtvercový trinom: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
a) Důkaz x:
x.(x – 9) = 0
Pak x = 0 nebo
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Kořeny: 0 a 9
b) Máme rozdíl mezi dvěma čtverci:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
To znamená, že x + 8 = 0 nebo x – 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Kořeny: -8 a 8.
c) Důkaz y:
y.(y – 1) = 0
Takže y = 0 nebo y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Kořeny: 0 a 1
d) Pamatujte, že 1 = 1², máme rozdíl mezi dvěma čtverci:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1). (x – 1) = 0
Takže x + 1 = 0 nebo x – 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Kořeny: – 1 a 1.
Viz také:
