Sumová kostka a Diferenční kostka

Sumová kostka a Diferenční kostka jsou dva typy pozoruhodné produkty, kde se dva členy sčítají nebo odečítají a pak se dělí na krychli, to znamená s exponentem rovným 3.

(x + y) ³ -> kostka součtu

(x – y) ³ -> kostka rozdílu

Kostku součtu lze také napsat jako (x+y). (x+y). (x + y) a kostka rozdílu jako (x – y). (x – y). (x - y).

Tyto produkty dostávají jméno pozoruhodných produktů pro důležitost, kterou mají, protože se často objevují v algebraických výpočtech.

Pamatujte, že v matematice lze stejný výraz zapsat jiným způsobem, ale beze změny jeho hodnoty. Například x + 1 + 1 lze jednoduše zapsat jako x + 2.

Často, když přepíšeme výraz, můžeme mnoho algebraických problémů zjednodušit a vyřešit. Podívejme se proto na jiný způsob, jak zapsat třetí mocninu součtu a třetí mocninu rozdílu, a rozvinout je algebraicky.

součtová kostka

Ó součtová kostka je pozoruhodný součin (x + y) ³, který je stejný jako (x + y). (x+y). (x+y). Tímto způsobem můžeme napsat:

(x + y) 3 = (x + y). (x+y). (x + y)

Nyní s ohledem na to (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², třetí mocninu součtu lze zapsat jako:

(x + y) 3 = (x + y). (x² + 2xy + y²)

Násobení polynomu (x + y) krát (x² + 2xy + y²), můžeme vidět, že:

(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³

Sečtením podobných výrazů máme, že třetí mocnina součtu je dána:

(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Příklad:

Rozviňte každou kostku algebraicky:

a) (x + 5)²

(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³

= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125

= x³ +15x² +75x + 125

b) (1 + 2b) 3

(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³

 = 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³

= 1 + 6b + 12b² + 8b³

rozdílová kostka

Ó rozdílová kostka je významný součin (x – y) ³, který je stejný jako (x – y). (x – y). (x – y). Takže musíme:

(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)

Jako (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², třetí mocnina rozdílu může být zapsána jako:

(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)

Vynásobením (x – y) (x² – 2xy + y²) můžeme vidět, že:

(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³

Přidáním podobných výrazů máme, že kostka rozdílu je dána:

(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³

Příklad:

Rozviňte každou kostku algebraicky:

a) (x – 2)³

(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³

= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8

= x³ – 6x² + 12x – 8

b) (2a – b) ³

(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³

= 8a³ – 3,4a².b + 3,2a.b² – b³

= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³

Také by vás mohlo zajímat:

• Faktorizace algebraických výrazů
• Algebraický výpočet zahrnující monočleny
• algebraické zlomky