Algebraische Brüche multiplizieren und dividieren

Zum algebraische Brüche sind Brüche, in denen sie vorkommen Polynome im Zähler und Nenner oder zumindest im Nenner.

Beispiele:

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$\dpi{120} \mathrm{\frac{2x}{5y}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{x-1}{2y^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{a-b}{a^2-b^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{1}{x^3 -8}}$

Bei der Multiplikation und Division algebraischer Brüche handelt es sich also um Berechnungen zwischen Polynomen, d. h. um Operationen zwischen Termen mit einer oder mehreren Variablen.

Algebraische Brüche multiplizieren

A algebraische Brüche multiplizieren ist ähnlich wie Zahlenbrüche multiplizieren.

Multiplizieren Sie einfach die Zähler und die Nenner.

Denken Sie daran Multiplikation der Kräfte Wenn die Basen gleich sind, behalten Sie die Basis bei und addieren Sie die Exponenten: $\dpi{120} \mathrm{x^n.x^m x^{n+ m}}$ .

Beispiele:

a) Berechnen Sie $\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3} \frac{x^3\cdot 5x^2}{3y\cdot 2y^ 3} \frac{5x^{5}}{6y^4}}$

b) Berechnen Sie $\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x} \frac{\cancel{\mathrm{x}}\cdot y\cdot \cancel{\mathrm {a}}}{a^{\cancel{2}}\cdot b\cdot 2\cdot \cancel{\mathrm{x}}} \frac{y}{2ab}}$

Beachten Sie, dass wir bei der Multiplikation den algebraischen Bruch vereinfachen können, indem wir die gleichen Faktoren streichen.

Division algebraischer Brüche

Division algebraischer Brüche ist ähnlich wie Division numerischer Brüche. Behalten Sie einfach den ersten Bruch bei und multiplizieren Sie ihn mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs.

Den Kehrwert des zweiten Bruchs erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

Beispiele:

a) Berechnen Sie $\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y}}$ .

Wenn wir den ersten Bruch beibehalten und mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren, erhalten wir:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} }$

Wir müssen also nur diese Multiplikation zwischen Brüchen lösen:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} \frac{12xy}{8x^5y} \frac{3}{2x^4} }$

Das Ergebnis der Division ist daher:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} \frac{3}{2x^4}}$

b) Berechnen Sie $\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1}}$ .

Wenn wir den ersten Bruch beibehalten und mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren, erhalten wir:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1} \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^ 2-1}{a^4} }$

Nun lösen wir die Multiplikation zwischen Brüchen:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^2-1}{a^4} \frac{a\cdot (b^2-1)}{a ^4\cdot (b+1)} \frac{\cancel{\mathrm{a}}\cdot (b-1)\cdot \cancel{(\mathrm{b+1})}}{a^{\cancel{4}}\cdot \cancel{ (\mathrm{b+1})}} \frac{b-1}{a^3}}$

Der Einfachheit halber verwenden wir in der zweiten Gleichung die Faktorisierung der Differenz zweier Quadrate.

Das Ergebnis der Division ist daher:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1} \frac{b-1}{a^3}}$

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