Summenwürfel und Differenzwürfel sind zwei Arten von bemerkenswerte Produkte, wobei zwei Terme addiert oder subtrahiert und dann gewürfelt werden, d. h. mit einem Exponenten gleich 3.
(x + y) ³ -> Summenwürfel
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(x – y) ³ -> Differenzwürfel
Der Summenwürfel kann auch geschrieben werden als (x+y). (x+y). (x + y) und der Würfel der Differenz als (x – y). (x – y). (x - y).
Diese Produkte werden aufgrund ihrer Bedeutung als bemerkenswerte Produkte bezeichnet, da sie häufig in algebraischen Berechnungen vorkommen.
Denken Sie daran, dass in der Mathematik derselbe Ausdruck auf andere Weise geschrieben werden kann, ohne dass sich sein Wert ändert. Beispielsweise kann x + 1 + 1 einfach als x + 2 geschrieben werden.
Wenn wir einen Ausdruck umschreiben, können wir oft viele algebraische Probleme vereinfachen und lösen. Sehen wir uns daher eine andere Möglichkeit an, den Kubus der Summe und den Kubus der Differenz zu schreiben und sie algebraisch zu entwickeln.
Ö Summenwürfel ist das bemerkenswerte Produkt (x + y) ³, das dasselbe ist wie (x + y). (x+y). (x+y). Auf diese Weise können wir schreiben:
(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (x + y)
Wenn man nun bedenkt, dass (x + y). (x + y) = (x + y)² = x² + 2xy + y², die Potenz der Summe kann wie folgt geschrieben werden:
(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)
Multiplikation des Polynoms (x + y) mal (x² + 2xy + y²), können wir Folgendes sehen:
(x + y)³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
Addiert man ähnliche Terme, erhält man, dass die Potenz der Summe gegeben ist durch:
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Beispiel:
Entwickeln Sie jeden Würfel algebraisch:
a) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³
= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
b) (1 + 2b)³
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
Ö Differenzwürfel ist das bemerkenswerte Produkt (x – y) ³, das dasselbe ist wie (x – y). (x – y). (x – y). Also müssen wir:
(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)
Wie (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², die dritte Potenz der Differenz lässt sich wie folgt schreiben:
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
Wenn wir (x – y) mit (x² – 2xy + y²) multiplizieren, können wir Folgendes sehen:
(x – y)³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
Addiert man ähnliche Terme, erhält man, dass die Kubikzahl der Differenz gegeben ist durch:
(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
Beispiel:
Entwickeln Sie jeden Würfel algebraisch:
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
b) (2a – b) ³
(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³
= 8a³ – 3,4a².b + 3,2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
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