principe fondamental du comptage (PFC) est l'une des méthodes de comptage de nombres analyse combinatoire. Ce principe permet de calculer le nombre de combinaisons possibles avec des éléments pouvant être obtenus de différentes manières.
Le PFC est une méthode simple mais très utile, largement utilisée dans les problèmes de probabilité, pour déterminer le nombre d'événements possibles.
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Pour en savoir plus sur PFC, utilisons quelques exemples.
Exemple 1
Pour aller de chez lui au zoo, Júlio doit prendre un bus qui l'emmène à la gare et, à la gare, il doit prendre un autre bus.
Supposons qu'il y ait trois lignes de bus qui vous emmènent à la gare, les lignes A1, A2 et A3, et qu'il y ait deux lignes qui vous emmènent de la gare au zoo, les lignes B1 et B2. Le schéma ci-dessous illustre cette situation :
De toutes les manières possibles, Júlio peut se rendre de sa maison au zoo, en combinant les lignes de bus disponibles.
D'après l'illustration, nous pouvons voir qu'il y a 6 possibilités au total. Cependant, nous pouvons découvrir ce résultat même sans l'illustration.
Par PFC, on multiplie le nombre de lignes possibles dans la première partie du chemin par le nombre de lignes possibles dans la seconde partie :
Exemple 2
Dans un restaurant, le client peut choisir entre 4 options d'entrées, 5 options de plat principal et 3 options de dessert. De combien de manières possibles un client peut-il choisir une entrée, un plat principal et un dessert dans ce restaurant ?
Par le PFC, il suffit de multiplier ces trois quantités :
Il y a donc 60 combinaisons possibles parmi lesquelles le client peut choisir, avec une entrée, un plat et un dessert dans ce restaurant.
Exemple 3
Combien de mots différents peut-on former en changeant l'ordre des lettres du mot ÉCOLE ?
Veillez à ce que les lettres du mot école ne se répètent pas, elles sont toutes différentes. Alors, dans les mots formés, il ne peut pas non plus y avoir de lettres répétées.
En considérant les 6 positions possibles des lettres dans le mot, on a :
Par le PFC, il suffit de multiplier ces quantités :
Voyez à quel point le PFC est important! Sans cela, nous aurions dû écrire tous les mots possibles, puis les compter pour arriver au nombre 720.
Les mots formés à partir des lettres d'un autre sont appelés anagrammes.
Le PFC a beaucoup d'application dans les problèmes de probabilité. Le principe est utilisé pour déterminer le nombre d'événements possibles dans une expérience.
Exemple:
Un dé est lancé trois fois de suite et la face obtenue est vérifiée. Quelle est la probabilité qu'il y ait une face paire au premier lancer, une face impaire au deuxième et une face supérieure à 4 au troisième ?
Cas favorables :
Par PFC, pour obtenir le nombre de cas favorables, il suffit de multiplier les quantités :
Cas possibles :
Par PFC, on peut aussi obtenir le nombre de cas possibles :
Ainsi, nous pouvons calculer la probabilité souhaitée :
Par conséquent, la chance qu'il ait trouvé un visage pair au premier lancer, un visage impair au deuxième lancer et un visage supérieur à 4 au troisième lancer est un sur douze, ce qui équivaut à environ 0,083 ou 8,3%.
A partir du PFC, d'autres techniques de comptage des éléments sont obtenues: permutation, arrangement et combinaison.
Permutation
Permet de calculer le nombre de possibilités d'organiser un total de n éléments, en changeant les positions des éléments entre eux.
Arrangement
Il permet de calculer le nombre de possibilités d'organiser n éléments en groupes de taille p, lorsque l'ordre des éléments est important au sein de chaque groupe.
Combinaison
Il permet de calculer le nombre de possibilités d'organiser n éléments en groupes de taille p, lorsque l'ordre des éléments Non est important au sein de chaque groupe.
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