Cube somme et cube différence sont deux types de produits notables, où deux termes sont ajoutés ou soustraits puis mis au cube, c'est-à-dire avec un exposant égal à 3.
(x + y) ³ -> cube somme
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(x – y) ³ -> cube de différence
Le cube somme peut aussi s'écrire (x+y). (x+y). (x + y) et le cube de la différence comme (x-y). (x-y). (x-y).
Ces produits reçoivent le nom de produits notables pour l'importance qu'ils ont, puisqu'ils apparaissent fréquemment dans les calculs algébriques.
Maintenant, souvenez-vous qu'en mathématiques, la même expression peut s'écrire d'une autre manière, mais sans changer sa valeur. Par exemple, x + 1 + 1 peut s'écrire simplement x + 2.
Souvent, lorsque nous réécrivons une expression, nous pouvons simplifier et résoudre de nombreux problèmes algébriques. Voyons donc une autre façon d'écrire le cube de la somme et le cube de la différence, en les développant algébriquement.
O cube somme est le produit remarquable (x + y) ³, qui est le même que (x + y). (x+y). (x+y). De cette manière, nous pouvons écrire :
(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (x + y)
Maintenant, en considérant que (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², le cube de la somme peut s'écrire :
(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)
Multiplication du polynôme (x + y) par (x² + 2xy + y²), on voit que :
(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
En additionnant les mêmes termes, on a que le cube de la somme est donné par :
(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Exemple:
Développez chaque cube algébriquement :
a) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³
= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
b) (1 + 2b) ³
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
O cube de différence est le produit notable (x – y) ³, qui est le même que (x – y). (x-y). (x-y). Donc, nous devons :
(x – y) ³ = (x – y). (x-y). (x-y)
Comme (x - y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², le cube de la différence peut s'écrire :
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
En multipliant (x – y) par (x² – 2xy + y²), nous pouvons voir que :
(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
En ajoutant des termes semblables, on a que le cube de la différence est donné par :
(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
Exemple:
Développez chaque cube algébriquement :
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
b) (2a – b) ³
(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³
= 8a³ – 3.4a².b + 3.2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
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