Addizione e sottrazione di frazioni algebriche

UN addizione e sottrazione di frazioni algebriche è fatto in modo simile all'addizione e alla sottrazione di frazioni numeriche, la differenza è che nelle frazioni algebriche ci occupiamo di polinomi.

Quando i denominatori delle frazioni algebriche sono gli stessi, basta aggiungere o sottrarre i numeratori e mantenere il denominatore.

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Tuttavia, se i denominatori sono diversi, dobbiamo scrivere frazioni equivalenti con denominatori uguali per poi fare l'addizione o la sottrazione. In questo caso, calcola il MMC di polinomi.

Frazioni algebriche con denominatori simili

Se i denominatori delle frazioni algebriche sono gli stessi, aggiungiamo o sottraiamo i numeratori e manteniamo il denominatore.

Esempi:

a) Calcolare $\dpi{120} \mathrm{\frac{7x}{y^2}+\frac{3x}{y^2} }$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{7x}{y^2}+\frac{3x}{y^2} \frac{7x+3x}{y^2} \frac{10x}{y^2 } }$

b) Calcola $\dpi{120} \mathrm{\frac{9 + a}{b-1}-\frac{a-b}{b-1} }$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{9 + a}{b-1}-\frac{a-b}{b-1} \frac{9 + a - (a-b)}{b-1} \frac{ 9 -b}{b-1} }$

Frazioni algebriche con denominatori diversi

Se i denominatori delle frazioni algebriche sono diversi, calcoliamo il MCM dei denominatori e scriviamo le frazioni equivalenti con lo stesso denominatore.

Quindi calcoliamo l'addizione o la sottrazione proprio come nel caso precedente, di denominatori uguali.

Esempi:

a) Calcolare $\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x}}$ .

Fattorizziamo ciascuno dei polinomi che sono nel denominatore:

$\dpi{120} \mathrm{2y 2\cdot y}$

$\dpi{120} \mathrm{2x 2\cdot x}$

La MMC è il prodotto tra i fattori, ma senza ripetere gli stessi fattori:

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow MMC 2\cdot y\cdot x 2yx}$

Si noti che non ripetiamo il numero 2, che appare nella fattorizzazione dei due polinomi.

Usando MMC, riscriviamo le frazioni equivalenti con lo stesso denominatore:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x} \frac{x^2}{2yx}+ \frac{y^2}{2yx}}$

Infine, calcoliamo la somma delle frazioni algebriche che hanno già lo stesso denominatore:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x} \frac{x^2+y^2}{2yx}}$

b) Calcola $\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3}}$ .

Per trovare l'MMC tra i polinomi che sono al denominatore, scomponiamo ciascuno di essi.

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 9 a^2 - 3^2 (a-3)\cdot (a+3)}$ → scomponendo la differenza di due quadrati

$\dpi{120} \mathrm{a+ 3 a+3}$ → rimane lo stesso

La MMC è il prodotto tra i fattori, ma senza ripetere gli stessi fattori.

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow MMC (a+3)\cdot (a-3)}$

Si noti che non ripetiamo (a + 3), che appare nella fattorizzazione dei due polinomi.

Usando MMC, riscriviamo le frazioni equivalenti con lo stesso denominatore:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3} \frac{2a}{(a+3)\cdot (a-3)} -\frac{7.(a-3)}{(a+3)\cdot (a-3)}}$

Infine, calcoliamo la somma delle frazioni algebriche che hanno già lo stesso denominatore:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3} \frac{2a - 7(a-3)}{(a+3)\ cdot (a-3)} \frac{2a-7a+21}{(a+3)\cdot (a-3)} \frac{-5a+21}{(a+3)\cdot (a-3 ) )} }$

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