Trigonometriske funksjoner med dobbel bue

I studiet av trigonometriske funksjoner, er det ofte problemer med doble buer. Derfor, å kjenne de spesifikke formlene til sinus, kosinus Det er tangent denne typen bue er grunnleggende for å forenkle mange beregninger.

Vurder enhver målebue $\dpi{120} \alpha$ , er den doble buen målebuen $\dpi{120} 2\alfa$ . På denne måten ønsker vi å få sinusformler av $\dpi{120} 2\alfa$ , kosinus av $\dpi{120} 2\alfa$ og tangent av $\dpi{120} 2\alfa$ .

se mer

Studenter fra Rio de Janeiro skal konkurrere om medaljer ved OL...

Matematikkinstituttet er åpent for påmelding til OL...

Disse formlene kan fås fra to-bue addisjonsformler:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Husk bruken av disse formlene fra et eksempel hvor vi får sinusen til 75° fra sinus og cosinus til bemerkelsesverdige vinkler 30° og 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

La oss nå se hvordan formlene til trigonometriske funksjoner med dobbel bue.

Trigonometriske funksjoner av doble buer

Gitt en målebue $\dpi{120} \alpha$ , er den doble buen målebuen $\dpi{120} 2\alfa$ . Siden $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , kan vi bruke formlene for å legge til to buer for å få formlene for dobbeltbuen.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

derfor dobbel sinusbue oppnås ved følgende formel:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Nå, se at:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

derfor dobbel bue cosinus oppnås ved følgende formel:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Når det gjelder tangenten, har vi:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$