O najväčší spoločný deliteľ(MDC) medzi dvoma alebo viacerými celé čísla zodpovedá najväčšiemu rozdeľovač spoločné, ktoré medzi nimi existuje. Medzi polynómy, MDC má rovnaký nápad.
Aby sme pochopili, ako vypočítať GCD medzi polynómami, je dôležité vedieť, ako vypočítať GCD celých čísel.
pozrieť viac
Študenti z Ria de Janeiro budú bojovať o medaily na olympiáde...
Ústav matematiky je otvorený pre registráciu na olympijské hry…
Praktickým spôsobom možno MDC získať ako produkt hlavné faktory spoločné, ktoré existujú medzi číslami.
Príklad: Vypočítajte GCD medzi 16 a 24.
Rozklad na hlavné faktory:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
GCD medzi 16 a 24 je súčinom faktorov spoločných pre tieto dve čísla, tj.
GCD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
Teraz sa pozrime ako nájsť GCD polynómov. Začneme najjednoduchším prípadom, s polynómami tvorenými jediným členom: the monomiály.
Pozrime sa na niekoľko príkladov, ako vypočítať GCD medzi dvoma alebo viacerými monomiálmi.
Príklad 1: MDC medzi 6x a 15x.
Po rozklade na hlavné faktory máme:
6 = 2. 3 a 15 = 3. 5
Preto môžeme každý z jednočlenov zapísať takto:
6x = 2. 3. X
15x = 3. 5. X
Preto je MDC 3x.
Príklad 2: MDC medzi 18x²y a 30xy.
Po rozklade na hlavné faktory máme:
18 = 2. 3. 3 a 30 = 2. 3. 5
Preto môžeme každý z jednočlenov zapísať takto:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. X. X. r
30xy = 2. 3. 5. X. r
2. 3. X. y = 6x
Takže MDC je 6xy.
Aby sme našli GCD polynómov, najprv skontrolujeme, či je možné každý z nich faktorizovať. Na tento účel používame techniky rozklad polynómu.
Príklad 1: GCD medzi (x² – y²) a (2x – 2 roky).
Všimnite si, že prvý polynóm zodpovedá rozdielu dvoch štvorcov. Môžeme to teda rozpočítať takto:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Už v druhom polynóme môžeme zapísať spoločný činiteľ, 2, ako dôkaz:
2x – 2y = 2.(x – y)
Týmto spôsobom máme:
x² – y² = (x - y).(x + y)
2x – 2 roky = 2.(x - y)
Takže GCD medzi polynómami je (x - y).
Príklad 2: GCD medzi (x³ + 27) a (x² + 6x + 9).
Prvý polynóm zodpovedá súčtu medzi dvoma kockami, pozri:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3). (x² – 3x + 9)
A druhý polynóm, umocnený na druhú súčet dvoch členov:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Takže musíme:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Preto je GCD medzi polynómami (x + 3).
Príklad 3: GCD medzi (2x² – 32) a (x³ + 12x² + 48x + 64).
Tu je prvý polynóm rozdiel medzi dvoma štvorcami:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Medzitým je druhý polynóm kockou súčtu dvoch členov:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Takže musíme:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Preto je GCD medzi polynómami (x + 4).
Zmätok medzi pojmami MDC a MMC (najmenší spoločný násobok). Kým však GCD zodpovedá najvyššiemu spoločnému deliteľovi, MMC je daná najnižším spoločným násobkom.
MMC je veľmi užitočným nástrojom pri riešení zlomkových rovníc, pretože vo všeobecnosti sú menovateľmi zlomky nie sú rovnaké.
V týchto situáciách robíme to, že extrahujeme MMC medzi menovateľmi a odtiaľ píšeme ekvivalentné frakcie rovnakého menovateľa.
Menovateľmi však nie sú vždy známe čísla, môžu to byť algebraické výrazy alebo polynómy. Preto je bežné počítať polynóm MMC.
V tejto dobe je dôležité nezamieňať a chcieť nájdite GCD rovnice, kedy je potrebné vypočítať MMC rovnice.
Tiež by vás mohlo zaujímať:
