O največji skupni delitelj(MDC) med dvema ali več cela števila ustreza največjemu delilnik skupno, kar obstaja med njimi. Vmes polinomi, MDC ima isto idejo.
Da bi torej razumeli, kako izračunati GCD med polinomi, je pomembno vedeti, kako izračunati GCD celih števil.
Poglej več
Dijaki iz Ria de Janeira se bodo na olimpijskih igrah potegovali za medalje...
Inštitut za matematiko je odprt za prijave na olimpijado…
Na praktičen način je mogoče MDC dobiti kot produkt glavni dejavniki skupne, ki obstajajo med številkami.
primer: Izračunajte GCD med 16 in 24.
Razčlenitev na prafaktorje:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
GCD med 16 in 24 je produkt faktorjev, ki so skupni obema številoma, to je
GCD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
Zdaj pa poglejmo kako najti GCD polinomov. Začeli bomo z najpreprostejšim primerom, s polinomi, ki jih tvori en sam člen: the monomi.
Oglejmo si nekaj primerov, kako izračunati GCD med dvema ali več monomi.
Primer 1: MDC med 6x in 15x.
Če razčlenimo na prafaktorje, imamo:
6 = 2. 3 in 15 = 3. 5
Zato lahko vsakega od monomov zapišemo takole:
6x = 2. 3. x
15x = 3. 5. x
Zato je MDC 3x.
Primer 2: MDC med 18x²y in 30xy.
Če razčlenimo na prafaktorje, imamo:
18 = 2. 3. 3 in 30 = 2. 3. 5
Zato lahko vsakega od monomov zapišemo takole:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. x. x. l
30xy = 2. 3. 5. x. l
2. 3. x. y = 6x
Torej, MDC je 6xy.
Da bi našli GCD polinomov, najprej preverimo, ali je možno faktorizirati vsakega od njih. Za to uporabljamo tehnike polinomska faktorizacija.
Primer 1: GCD med (x² – y²) in (2x – 2y).
Upoštevajte, da prvi polinom ustreza razliki dveh kvadratov. Torej ga lahko faktoriziramo na naslednji način:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Že v drugem polinomu lahko kot dokaz zapišemo skupni faktor 2:
2x – 2y = 2.(x – y)
Na ta način imamo:
x² – y² = (x - y).(x + y)
2x – 2y = 2.(x - y)
Torej, GCD med polinomi je (x - y).
Primer 2: GCD med (x³ + 27) in (x² + 6x + 9).
Prvi polinom ustreza vsoti med dvema kockama, glej:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
In drugi polinom, kvadrat na vsoto dveh členov:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Torej, moramo:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Zato je GCD med polinomi enak (x + 3).
Primer 3: GCD med (2x² – 32) in (x³ + 12x² + 48x + 64).
Tu je prvi polinom razlika med dvema kvadratoma:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Medtem je drugi polinom kocka vsote dveh členov:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Torej, moramo:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Zato je GCD med polinomi enak (x + 4).
Zmeda med pojmoma MDC in MMC (najmanjši skupni večkratnik). Medtem ko GCD ustreza najvišjemu skupnemu delitelju, je MMC podan z najmanjšim skupnim večkratnikom.
MMC je zelo uporabno orodje pri reševanju ulomljenih enačb, ker so na splošno imenovalci ulomki nista enaka.
V teh situacijah izvlečemo MMC med imenovalce in od tam pišemo ekvivalentni ulomki istega imenovalca.
Vendar pa imenovalci niso vedno znana števila, lahko so algebraični izrazi ali polinomi. Zato je običajno treba izračunati polinom MMC.
V tem času je pomembno, da ne zamenjate in želite poiščite GCD enačbe, ko je tisto, kar je treba izračunati, MMC enačbe.
Morda vas bo zanimalo tudi:
