Kocka vsote in kocka razlike sta dve vrsti opazne izdelke, kjer se dva člana seštejeta ali odštejeta in nato kubirata, to je z eksponentom, ki je enak 3.
(x + y) ³ -> kocka vsote
Poglej več
Dijaki iz Ria de Janeira se bodo na olimpijskih igrah potegovali za medalje...
Inštitut za matematiko je odprt za prijave na olimpijado…
(x – y) ³ -> kocka razlike
Kocko vsote lahko zapišemo tudi kot (x+y). (x+y). (x + y) in kocka razlike kot (x – y). (x – y). (x - y).
Ti izdelki dobijo ime opazni izdelki zaradi pomembnosti, ki jo imajo, saj se pogosto pojavljajo v algebrskih izračunih.
Ne pozabite, da je v matematiki isti izraz mogoče zapisati na drugačen način, vendar brez spreminjanja njegove vrednosti. Na primer, x + 1 + 1 lahko preprosto zapišemo kot x + 2.
Pogosto, ko prepišemo izraz, lahko poenostavimo in rešimo številne algebraične probleme. Zato si poglejmo še en način zapisovanja kuba vsote in kuba razlike ter ju razvijemo algebraično.
O kocka vsote je izjemen produkt (x + y) ³, ki je enak (x + y). (x+y). (x+y). Na ta način lahko zapišemo:
(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (x + y)
Zdaj, če upoštevamo to (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², lahko kub vsote zapišemo kot:
(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)
Množenje polinoma (x + y) z (x² + 2xy + y²), lahko vidimo, da:
(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
Če dodamo podobne člene, dobimo, da je kub vsote podan z:
(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
primer:
Vsako kocko razvijte algebraično:
a) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³
= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
b) (1 + 2b) ³
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
O kocka razlike je opazen produkt (x – y) ³, ki je enak (x – y). (x – y). (x – y). Torej, moramo:
(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)
Kot (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², lahko kub razlike zapišemo kot:
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
Če pomnožimo (x – y) z (x² – 2xy + y²), lahko vidimo, da:
(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
Če dodamo podobne člene, dobimo, da je kub razlike podan z:
(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
primer:
Vsako kocko razvijte algebraično:
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
b) (2a – b) ³
(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³
= 8a³ – 3,4a².b + 3,2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
Morda vas bo zanimalo tudi:
