O המחלק המשותף הגדול ביותר(MDC) בין שניים או יותר מספרים שלמים מתאים לגדול ביותר מחיצה משותף שקיים ביניהם. בין לבין פולינומים, ל-MDC יש את אותו רעיון.
לפיכך, כדי להבין כיצד לחשב את ה-GCD בין פולינומים, חשוב לדעת כיצד לחשב את ה-GCD של מספרים שלמים.
ראה עוד
תלמידים מריו דה ז'נרו יתחרו על מדליות באולימפיאדה...
המכון למתמטיקה פתוח להרשמה לאולימפיאדה...
באופן מעשי, ניתן להשיג את ה-MDC כתוצר של גורמים ראשוניים משותף שקיים בין המספרים.
דוגמא: חשב GCD בין 16 ל-24.
פירוק לגורמים ראשוניים:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
ה-GCD בין 16 ל-24 הוא המכפלה של הגורמים המשותפים לשני המספרים, כלומר,
GCD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
עכשיו בוא נראה כיצד למצוא GCD של פולינומים. נתחיל מהמקרה הפשוט ביותר, עם פולינומים שנוצרו על ידי איבר בודד: ה מונומיאלים.
בואו נראה כמה דוגמאות כיצד לחשב את ה-GCD בין שני מונומיאלים או יותר.
דוגמה 1: MDC בין 6x ל-15x.
בפירוק לגורמים ראשוניים, יש לנו:
6 = 2. 3 ו-15 = 3. 5
לכן, נוכל לכתוב כל אחד מהמונומיאלים באופן הבא:
6x = 2. 3. איקס
15x = 3. 5. איקס
לכן, ה-MDC הוא 3x.
דוגמה 2: MDC בין 18x²y ל-30xy.
בפירוק לגורמים ראשוניים, יש לנו:
18 = 2. 3. 3 ו-30 = 2. 3. 5
לכן, נוכל לכתוב כל אחד מהמונומיאלים באופן הבא:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. איקס. איקס. y
30xy = 2. 3. 5. איקס. y
2. 3. איקס. y = 6x
אז, ה-MDC הוא 6xy.
כדי למצוא את ה-GCD של פולינומים, קודם כל בודקים אם אפשר לחשב כל אחד מהם. לשם כך, אנו משתמשים בטכניקות של פירוק פולינום.
דוגמה 1: GCD בין (x² – y²) ו-(2x – 2y).
שימו לב שהפולינום הראשון מתאים להפרש של שני ריבועים. אז אנחנו יכולים לחשב את זה בצורה הבאה:
x² – y² = (x – y).(x + y)
כבר בפולינום השני, אנו יכולים לכתוב את הגורם המשותף, 2, כראיה:
2x – 2y = 2.(x – y)
בדרך זו, יש לנו:
x² – y² = (x - y).(x + y)
2x – 2y = 2.(x - y)
אז, ה-GCD בין הפולינומים הוא (x - y).
דוגמה 2: GCD בין (x³ + 27) ל-(x² + 6x + 9).
הפולינום הראשון מתאים לסכום בין שתי קוביות, ראה:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
והפולינום השני בריבוע לסכום של שני איברים:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
אז, אנחנו צריכים:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
לכן, ה-GCD בין הפולינומים הוא (x + 3).
דוגמה 3: GCD בין (2x² – 32) לבין (x³ + 12x² + 48x + 64).
כאן, הפולינום הראשון הוא הבדל בין שני ריבועים:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
בינתיים, הפולינום השני הוא הקובייה של סכום שני איברים:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
אז, אנחנו צריכים:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
לכן, ה-GCD בין הפולינומים הוא (x + 4).
בלבול בין המושגים של MDC ו MMC (כפולה משותפת מינימאלית). עם זאת, בעוד GCD מתאים למחלק המשותף הגבוה ביותר, MMC ניתן על ידי המכפלה המשותפת הנמוכה ביותר.
MMC הוא כלי שימושי מאוד בפתרון משוואות שבר מכיוון שבאופן כללי, המכנים של שברים הם לא אותו דבר.
במצבים אלו, מה שאנחנו עושים זה לחלץ את ה-MMC בין המכנים ומשם לכתוב שברים שווים של אותו מכנה.
עם זאת, מכנים אינם תמיד מספרים ידועים, הם יכולים להיות ביטויים אלגבריים או פולינומים. לכן, מקובל שצריך לחשב את פולינום MMC.
בשלב זה, חשוב לא להתבלבל ולרצות מצא את GCD של המשוואה, כאשר מה שצריך לחשב הוא ה-MMC של המשוואה.
אולי יעניין אותך גם:
