Základní princip počítání

základní princip počítání (PFC) je jednou z metod počítání čísel kombinatorická analýza. Tento princip nám umožňuje vypočítat počet možných kombinací s prvky, které lze získat různými způsoby.

PFC je jednoduchá, ale velmi užitečná metoda, široce používaná v pravděpodobnostních problémech, při určování počtu možných událostí.

základní princip počítání

Chcete-li vysvětlit více o PFC, použijte několik příkladů.

Příklad 1

Aby se Júlio dostal z domu do zoo, musí jet autobusem, který ho doveze na nádraží, a na nádraží musí jet jiným autobusem.

Předpokládejme, že na nádraží jezdí tři autobusové linky, linky A1, A2 a A3, a že existují dvě linky, které vás odvezou z nádraží do zoo, linky B1 a B2. Níže uvedený diagram ukazuje tuto situaci:

Júlio může jít ze svého domu do zoo co nejvíce způsoby, a to kombinací dostupných autobusových linek.

Z ilustrace vidíme, že existuje celkem 6 možností. Tento výsledek však můžeme objevit i bez ilustrace.

Pomocí PFC vynásobíme počet možných řádků v první části cesty počtem možných řádků ve druhé části:

• Z domova na nádraží: Linky A1, A2 a A3 → 3 různé způsoby;
• Z nádraží do zoo: Linky B1 a B2 → 2 různé způsoby;

Příklad 2

V restauraci si zákazník může vybrat ze 4 možností předkrmu, 5 možností hlavního jídla a 3 možností dezertu. Kolika možnými způsoby si může zákazník v této restauraci vybrat předkrm, hlavní jídlo a dezert?

• Zakázáno: 4 opce;
• Hlavní chod: 5opce;
• Dezert: 3 možnosti.

Pomocí PFC stačí vynásobit tato tři množství:

Zákazník si tedy může vybrat ze 60 možných kombinací s předkrmem, hlavním jídlem a dezertem v této restauraci.

Příklad 3

Kolik různých slov lze vytvořit změnou pořadí písmen ve slově ŠKOLA?

Podívejte se, že písmena slova škola se neopakují, všechna jsou jiná. Pak se ve vytvořených slovech nemohou opakovat ani písmena.

Když vezmeme v úvahu 6 možných pozic pro písmena ve slově, máme:

• 1. pozice: 6 dopisy k dispozici;
• 2. pozice: 5 dopisy k dispozici;
• 3. pozice: 4 dopisy k dispozici;
• 4. pozice: 3 dopisy k dispozici;
• 5. pozice: 2 dopisy k dispozici;
• 6. pozice: 1 dopis k dispozici.

Pomocí PFC stačí vynásobit tato množství:

Podívejte se, jak důležité je PFC! Bez toho bychom si museli zapsat všechna možná slova a pak je spočítat, abychom dospěli k číslu 720.

Slova vytvořená z písmen druhého se nazývají přesmyčky.

Pravděpodobnost

PFC má mnoho aplikací v problémech pravděpodobnost. Tento princip se používá k určení počtu možných událostí v experimentu.

Příklad:

Kostkou se hodí třikrát za sebou a získaná tvář se zkontroluje. Jaká je pravděpodobnost, že je při prvním hodu sudý, při druhém lichý a při třetím hodu větší než 4?

Výhodné případy:

• 1. spuštění: 3 možnosti (obličeje 2, 4 a 6);
• 2. vydání: 3 možnosti (obličeje 1, 3 a 5);
• 3. spuštění: 2 možnosti (obličej 5 a 6).

Pomocí PFC získáte počet příznivých případů vynásobením množství:

Možné případy:

• 1. spuštění: 6 možnosti (obličeje 1, 2, 3, 4, 5 a 6);
• 2. vydání: 6 možnosti (obličeje 1, 2, 3, 4, 5 a 6);
• 3. spuštění: 6 možnosti (obličeje 1, 2, 3, 4, 5 a 6).

Pomocí PFC můžeme také získat počet možných případů:

Můžeme tedy vypočítat požadovanou pravděpodobnost:

Tudíž šance, že se objevila sudá tvář při prvním hodu, lichá tvář při druhém hodu a plocha větší než 4 při třetím hodu je jedna z dvanácti, což se rovná přibližně 0,083 nebo 8,3%.

Kombinatorická analýza

Z PFC se získají další techniky počítání prvků: permutace, uspořádání a kombinace.

Permutace

Umožňuje vypočítat počet možností uspořádat celkem n prvků, přičemž se mění pozice prvků mezi sebou.

Dohoda

Umožňuje vypočítat počet možností uspořádat n prvků do skupin o velikosti p, kdy pořadí prvků je důležité v rámci každé skupiny.

Kombinace

Umožňuje vypočítat počet možností uspořádání n prvků ve skupinách o velikosti p, při pořadí prvků Ne je důležité v každé skupině.

Také by vás mohlo zajímat:

• podmíněná pravděpodobnost
• Statistický
• Seskupování dat do rozsahů
• Disperzní opatření
• Průměr, modus a medián